Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 3
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Falaii moçadinha, joinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Como se trata de um polinômio, o domínio é real: .
Passo 3
Vamos achar as interseções com os eixos e . Para o ponto que corta o eixo , basta tomar , assim, . Vemos então que a curva passa pelo ponto . Para as interseções com o eixo , fazemos , assim
Essa é uma equação complica de resolver, então vamos abdicar de tentar achá-las. Assim, a única interseção que achamos de forma simples foi .
Passo 4
Note que tem expoentes pares e ímpares de , assim ela não é nem par nem ímpar. A função não tem nenhum tipo de simetria.
Passo 5
Como se trata de um polinômio, não tem assíntotas:
Passo 6
Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar :
*Como tem raízes e , temos que
.
Desta forma,
Assim, é ponto de mínimo local e é ponto de máximo local.
Mínimo local: ; máximo local: .
Passo 7
Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:
Assim,
Como , o ponto é um ponto de inflexão.
Resposta
Esboço da curva:
