Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 33
33. Use integração para provar que a circunferência do círculo é .
Passo 1
A circunferência do círculo nada mais é que o comprimento do arco da função que descreve o mesmo. Sendo assim, para mostrar o que está sendo pedido basta ter em mente como é dado o comprimento do arco de uma função num intervalo.
Passo 2
A equação de um quarto do círculo de raio a é dada por :
Passo 3
Sabemos que o comprimento de arco de uma curva é:
Como a equação representa ¼ de círculo, para encontrar o valor do seu comprimento total basta multiplicar a expressão que nos fornece o comprimento por 4 e ficamos com:
Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em a (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:
Logo, o comprimento de arco do círculo é .
Resposta
Demonstração.