Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Vamos usar as regras apresentadas na seção para tentar calcular o valor da integral, então, aplicando o limite, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x ln ⁡ x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição fazendo u = ln ⁡ x → d u = ( 1 / x ) d x , então, subsituindo esses valores, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 u 2 d u

Passo 3

Agora podemos resolver a integral:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 u 2 d u = lim t → ∞ ⁡ - 1 u e t

Substituindo o valor de u = ln ⁡ x :

lim t → ∞ ⁡ - 1 u e t = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ x e t

Substituindo os valores do limite de integração, temos:

lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t - - 1 ln ⁡ e = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t + 1

E então substituindo o valor para t :

lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = 1

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