Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 24

Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x

Vamos usar as regras apresentadas na seção para tentar calcular o valor da integral, então, aplicando o limite, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x ln ⁡ x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o método da substituição fazendo u = ln ⁡ x → d u = ( 1 / x ) d x , então, subsituindo esses valores, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 x ln ⁡ x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 u 2 d u

Passo 3

Agora podemos resolver a integral:

lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 u 2 d u = lim t → ∞ ⁡ - 1 u e t

Substituindo o valor de u = ln ⁡ x :

lim t → ∞ ⁡ - 1 u e t = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ x e t

Substituindo os valores do limite de integração, temos:

lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t - - 1 ln ⁡ e = lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t + 1

E então substituindo o valor para t :

lim t → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ t + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2 d x = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. 1 . ∫ 0 1 d x 1 - x
45. Determine se é possível representar por um número a medida da área da região à direita do eixo y, limitada pela curva 4 y 2 - x y 2 - x 2 = 0 e sua assíntota. Sendo possível, calcule-o.
Calcule ∫ 1 ∞π 1 x 2 d x Esse sólido de revolução é, por vezes, descrito como uma lata que não tem tinta o bastante para cobrir o próprio interior. Pense nisso por um momento. O bom senso nos diz que
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região infinita e o eixo x em torno do eixo x.
Calcule a área da região que se encontra entre as curvas y = s e c x e y = t g x de x = 0 a x = π 2