Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 45
Use a lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido , se o campo elétrico for
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.
Ela diz para usarmos a lei de Gauss para achar a carga contida na esfera
Sendo que
Ou seja, temos a metade de cima da esfera e um plano embaixo dela.
Onde o campo elétrico é
Pra calcular a carga vamos relembrar como é a fórmula:
Sendo
Como temos uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas
Tudo certo?
Temos duas regiões a considerar, vamos analisar primeiro o hemisfério e depois a região do plano.
Sempre procurando calcular o vetor normal para fazer o produto escalar, depois achar os limites de integração e finalmente montar a integral pra resolver.
Bora lá?
Passo 2
Então, aqui temos duas regiões a considerar: a carga contida no hemisfério e limitada pelo . Vamos por partes?
Primeiro olhando o hemisfério: precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Uma parametrização possível é
Sendo assim, o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
Passo 3
O vetor campo elétrico em termos das coordenadas esféricas é:
Vamos agora fazer o produto escalar entre e :
Resolvendo esse produto escalar:
Passo 4
Beleza! Agora que já temos e seu produto escalar, precisamos determinar e jogar na integral!
O diferencial de área vai ser
entre os limites:
Como só cortamos a esfera na metade, sua variação em não muda.
Passo 5
Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:
Lembrando que
Vamos ter
Resolvendo a integral:
Simplificando
Passo 6
Vamos ver agora para a região do plano , com . O vetor normal à região é .
O campo elétrico em é:
Então o produto escalar entre e é:
Então o integrando de
é zero, portando a carga aqui é zero.
Passo 7
Resgatando as integrais que resolvemos temos:
Então a carga contida é
Certo?
Vamos pra próxima?