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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 42

Seja S a parte da esfera x 2 + y ² + z ² = 25 que está acima do plano z = 4 . Se S tiver densidade constante k , encontre ( a ) o centro de massa e ( b ) o momento de inércia em torno do eixo z .

Passo 1

Oi, galera, tudo bem?

Precisamos encontrar (a) o centro de massa e (b) o momento de inércia em torno do eixo z da superfície definida pela região S com parte da esfera:

x 2 + y ² + z ² = 25

Que está acima do plano

z = 4

Com função densidade constante, ou seja:

ρ x , y , z = k

Estamos trabalhando com essa regi��o aqui descrita nesse gráfico:

Para calcular as fórmulas do centro de massa e do momento de inércia, devemos calcular algumas integrais. Vamos por partes?

Passo 2

Para calcular o centro de massa, primeiro precisamos descobrir a massa dada por:

m = ∫ ∫ S ρ x , y , z d S

E quem é o d S ? Podemos calculá-lo assim:

d S = 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d y d x

Onde precisamos fazer as derivadas parciais de z em relação a x e a y . Mas quem é nosso z ?

Com o que temos no enunciado:

x 2 + y ² + z ² = 25

z = 25 - x 2 - y 2

Assim,

∂ z ∂ x 25 - x 2 - y 2 → x 25 - x 2 - y 2

∂ z ∂ y 25 - x 2 - y 2 → y 25 - x 2 - y 2

Jogando na fórmula, teremos:

d S = 1 + x 25 - x 2 - y 2 2 + y 25 - x 2 - y 2 2 d y d x

Organizando, teremos

d S = 5 25 - x 2 - y 2 d y d x

Para calcular a massa, com a função densidade ρ como uma constante k , então

m = ∫ ∫ S k 5 25 - x 2 - y 2 d y d x

Para encontrarmos os limites de integração da região S , lembre que z = 4 (lá do enunciado), então

x 2 + y 2 + z 2 = 25

x 2 + y 2 + 16 = 25

x 2 + y 2 = 9

Em coordenadas polares,

x 2 + y 2 = r 2

Com isso, a região é definida por

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, teremos:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 k 25 - r 2 r d r d θ

Colocando 5 k para fora da integral como constante...

5 k ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 25 - r 2 d r d θ

Resolvendo de dentro para fora:

5 k ∫ 0 2 π - 25 - r 2 0 3 d θ

5 k ∫ 0 2 π 1 d θ = 10 π k  

Passo 3

Agora iremos encontrar nossos centros de massa do item (a). São definidos por essas fórmulas aqui:

x - = 1 m ∫ ∫ S x ρ x , y , z d S

y - = 1 m ∫ ∫ S y ρ x , y , z d S

z - = 1 m ∫ ∫ S z ρ x , y , z d S

Por simetria, podemos dizer que as coordenadas x e y para o centro de massa serão 0 . Portanto:

z - = 1 10 π k ∫ ∫ S z k 5 25 - x 2 - y 2 d y d x

Organizando, teremos

z - = 1 10 π ∫ ∫ S 5 z z d y d x

z - = 1 2 π ∫ ∫ S d y d x

Note que essa integral é basicamente a área da esfera, então:

A = π r 2 → 9 π

z - = 9 π 2 π → 9 2

Com isso, o centro de massa será dado por

0 ,   0 , 9 2

Passo 4

Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z para o item (b).

Sabemos que a expressão para o momento de inércia é:

I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d S

Então temos com informações anteriores:

I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ⏟ r 2 ) k 5 25 - x 2 - y 2 d y d x

Organizando, teremos:

I z = ∬ S 5 k r 2 25 - x 2 - y 2 d y d x

Colocando as constantes para fora da integral, e tendo como limites de integração (como já descobrimos para a massa)

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então, em coordenadas polares:

I z = 5 k ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2 25 - r 2 r d r d θ

Reorganizando a integral de acordo com seus termos, chegaremos a

I z = 5 k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r 2 25 - r 2 r d r

Para a primeira integral...

θ 0 2 π = 2 π

Para a segunda integral...

∫ 0 3 r 3 25 - r 2 d r

Por substituição,

u = 25 - r 2 → d r = - d u 2 r

Teremos:

∫ r 3 u - d u 2 r

∫ - r 2 2 u d u

Organizando, sabendo que

u = 25 - r 2 → - r 2 = u - 25

1 2 ∫ u - 25 u d u

1 2 ∫ u - 25 u 1 2 d u

Assim, chegaremos a

25 - r 2 ⋅ 25 - r 2 3 - 25 25 - r 2 0 3 = 14 3

Unindo todas as integrais, teremos:

10 π k ⋅ 14 3 = 140 π k 3

Resposta

( a ) x - , y - , z - = 0,0 , 9 2  

( b ) I z = 140 k π 3

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