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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 24

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^ ,

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 25 , y ≥ 0 , orientado na direção do eixo y positivo.

Passo 1

Fala, galera! Tranquilo?

A questão quer o valor da integral de superfície:

∫ ∫ S F → ⋅ d S →

Para o campo:

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

Onde S é o hemisfério

x 2 + y 2 + z 2 = 25

y ≥ 0

orientado na direção do eixo y positivo.

O cálculo da integral de superfície é dado pela equação:

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:

F r u , v ⋅ r u × r v

Onde F é nosso campo dado no enunciado e r u e r v são as derivadas parciais do vetor r , composto pela parametrização da nossa superfície:

r u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Então vamos precisar achar uma parametrização r u ,   v para nossa superfície S .

Depois achamos as derivadas parciais desse vetor r u ,   v . Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!

Vem comigo!

Passo 2

S é o hemisfério (metade da esfera)

x 2 + y 2 + z 2 = 25

com y ≥ 0

Assim, fazemos a parametrização no mesmo sentido das coordenadas esféricas.

x = ρ   s e n   ϕ cos ⁡ θ

  y = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ

    z = ρ cos ⁡ ϕ

Como nossa esfera tem raio 5 , nossa parametrização será:

x = 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ

    y = 5   s e n   ϕ   s e n   θ

    z = 5 cos ⁡ ϕ

Como temos y ≥ 0 , o ângulo polar deve rodar apenas o primeiro e segundo quadrante:

0 ≤ ϕ ≤ π                 e               0 ≤ θ ≤ π

Então nosso vetor será:

r θ ,   ϕ = 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ i + 5   s e n   ϕ   s e n   θ   j + 5 cos ⁡ ϕ   k  

Calculando as derivadas parciais:

  • r θ :

    • r θ = ∂ x ∂ θ ,   ∂ y ∂ θ ,   ∂ z ∂ θ

    Substituindo e derivando:

    r θ = ∂ 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ ∂ θ ,   ∂ 5   s e n   ϕ   s e n   θ ∂ θ ,   ∂ 5 cos ⁡ ϕ ∂ θ

    Ficamos com:

    r θ = ( - 5 s e n ϕ s e n θ , 5 s e n ϕ cos ⁡ θ , 0 )

  • r ϕ :

r ϕ = ∂ x ∂ ϕ ,   ∂ y ∂ ϕ ,   ∂ z ∂ ϕ

Substituindo e derivando:

r ϕ = ∂ 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ ∂ ϕ ,   ∂ 5   s e n   ϕ   s e n   θ ∂ ϕ ,   ∂ 5 cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

Ficamos com:

r ϕ = ( 5 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 5 cos ⁡ ϕ s e n   θ , - 5 s e n ϕ )

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial:

r θ × r ϕ = - 5 s e n ϕ s e n θ , 5 s e n ϕ cos ⁡ θ , 0 × 5 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ s e n   θ , - 5 s e n ϕ

r θ × r ϕ = i ^ j ^ k ^ - 5 s e n ϕ s e n θ   5 s e n ϕ cos ⁡ θ 0 5 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ 5 cos ⁡ ϕ s e n   θ - 5 s e n ϕ

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r θ × r ϕ = ( s e n   ϕ c o s θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ ,   c o s ϕ )

Agora falta acharmos o valor de:

F r θ ,   ϕ

que é nossa função do campo parametrizada:

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

Substituindo pelas componentes de:

r θ ,   ϕ = 5   s e n   ϕ cos ⁡ θ i + 5   s e n   ϕ   s e n   θ   j + 5 cos ⁡ ϕ   k  

Ficamos com:

F r u ,   v = 25   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   5   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ ,   5   s e n   ϕ   s e n   θ

Passo 4

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r θ , ϕ ⋅ r θ × r ϕ d A

No nosso caso, teremos

= 25   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   5   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ ,   5   s e n   ϕ   s e n   θ ⋅ ( s e n   ϕ c o s θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ ,   c o s ϕ )

Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:

∬ S ( 25   s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 5 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ + 5   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ ) d A

Aplicando os limites de integração na integral:

∫ 0 π ∫ 0 π ( 25   s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 5 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ + 5   s e n 2   ϕ cos ⁡ ϕ   s e n   θ )   d ϕ   d θ

Vamos fazer primeiro a integral em ϕ . Sabemos que

∫ 0 π s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ = 0 ,

pois fazemos a substituição:

u = s e n   ϕ

d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ

e a integral vira:

∫ 0 0 u 3   d u = 0

Assim, os dois primeiros termos morrem, restando apenas o último:

75 ∫ 0 π s e n   θ   d θ ∫ 0 π s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ

Mas note que a integral em ϕ também se anula:

∫ 0 π s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ = ∫ 0 0 u 2 d u = 0

Assim,

I = 0

Resposta

I = 0

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