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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 19

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica.

y = x - 1 , y = 0 , x = 5 ao redor do eixo y = 3 .

Passo 1

Pra começar vamos entender um pouco melhor as condições que ele nos deu:

y = x - 1 , y = 0 , x = 5

Quando x = 5 :

y = 5 - 1 = 2

Esboçando um gráfico, temos:

Isso quer dizer que estamos querendo calcular o volume da região limitada entre y = 0 e y = 2 . Como ele nos pede para rodar em torno do eixo   y = 3 , temos que trocar o fator y por 3 - y . Então o volume fica o seguinte:

V = ∫ 0 2 2 π 3 - y f y d y

Pelo métodos das cascas o f y é o raio do cilindro. Assim,

f y = 5 - x

Como y = x - 1 :

x = y 2 + 1

Logo,

f y = 4 - y 2

Então o volume fica o seguinte:

V = ∫ 0 2 2 π 3 - y 4 - y 2 d y

Isto é,

V = 2 π ∫ 0 2 y 3 - 3 y 2 - 4 y + 12 d y

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

V = 2 π y 4 4 - 3 y 3 3 - 4 y 2 2 + 12 y 0 2

Assim,

V = 2 π 2 2 4 4 - 3 2 3 3 - 4 2 2 2 + 12 ⋅ 2 - 0 4 4 - 3 0 3 3 - 4 0 2 2 + 12 ⋅ 0

Fazendo as contas:

V = 24 π

Resposta

V = 24 π

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