Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 10
10. Se uma bola for atirada verticalmente para cima com uma velocidade de então sua altura depois de segundos é .
(a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
(b) Qual a velocidade da bola quando estiver acima do solo na subida?
Passo 1
Opa, bora lá! Aqui o enunciado fala de uma bola que é jogada verticalmente com uma velocidade inicial de .
Temos uma função que nos dá a altura da bola em função do tempo:
Queremos a altura máxima da bola na letra (a).
Para encontrar essa altura temos que lembrar que ao chegar nesse ponto a velocidade da bola vai a zero, pois ela sobe diminuindo a velocidade pelo efeito da aceleração da gravidade, para na altura máxima e começa a cair novamente em direção ao solo.
E na letra (b) queremos sua velocidade quando ela está acima do solo na subida.
Para resolver essa questão vamos lembrar que a velocidade da bola pode ser obtida derivando a função da posição em relação ao tempo.
Então vem comigo, que te mostro como fazer tudo isso.
Passo 2
Vamos começar derivando da posição em relação ao tempo para obter e a velocidade. Sendo:
Como essa é uma função polinomial, podemos derivar cada termo separadamente usando a regra do expoente. Assim:
Prontinho.
Passo 3
(a)
A altura máxima é atingida no instante que a velocidade for , então, acharemos o instante em que isso acontece, igualando a expressão da velocidade a .
Então:
Isolando , ficamos com
É nesse instante em que a bola para.
Agora substituiremos esse instante na função da posição para calcularmos essa altura!
Prontinho. Item (a) resolvido.
Passo 4
(b)
Para acharmos a velocidade a , primeiro temos que achar o tempo quando a partícula estiver nessa posição.
Assim,
Dividindo todos por :
ou
Qual dos dois valores que vamos usar? Ora, antes da altura máxima a partícula está subindo, então para valores menores que s a partícula está subindo. Entãaaaaao:
E para
Prontinho! Questão resolvida.
Resposta
(a)
(b)
e