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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.3 - Ex. 14

Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x .

x + y = 4 ,     x = y 2 - 4 y + 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que calculemos o volume sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x :

x + y = 4 ,     x = y 2 - 4 y + 4

Para isso, a questão quer que utilizemos o método de cascas cilíndricas.

Mas que método é esse??

Bom... basicamente o volume V de um sólido de rotação por esse método é dado por:

V = ∫ a b 2 π ⋅ y ⋅ g y d y

A nossa função g ( y ) é dada pela diferença entre as funções que delimitam a região. Se fosse uma integração em x , seria a curva de cima menos a de baixo.

Como é uma integral em y , vai ser a curva da direita menos a da esquerda.

E os limites de integração a e b são os pontos onde as curvas de encontram.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Para a nossa questão, temos que:

g y = 4 - y - y 2 - 4 y + 4

Assim, aplicando na integral do volume, temos:

V = ∫ 0 1 2 π ⋅ y ⋅ - y + 4 - y 2 - 4 y + 4   d y ∴

V = ∫ 0 1 2 π ⋅ y ⋅ - y + 4 - y 2 + 4 y - 4   d y ∴

V = ∫ 0 1 2 π ⋅ y ⋅ - y 2 + 3 y   d y ∴

V = - π ⋅ x - 4 ⋅ x 3 2 0 1 ∴

V = - π ⋅ 1 - 4 ⋅ 1 3 2 ∴

V = - π * - 3 2

V = 3 π 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

3 π 2

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