Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.3 - Ex. 3
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.
Passo 1
Para calcular usando o método das cascas cilíndricas temos que usar a seguinte fórmula:
Onde corresponde a circunferência, a altura da casca e a espessura. Analisando a integral, precisamos achar quem é e quem são os limites de integração, vamos primeiro esboçar a região e uma casca para conseguir isso que falta:
Pronto, pela figura temos o que precisamos, os limites de integração são e , e a nossa altura é .
Passo 2
Vamos agora substituir na equação e calcular:
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá: