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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 9

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x .   Esboce a região e uma casca típica.

x = 1 + y 2 ,   x = 0 ,   y = 1 ,   y = 2

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume do solido gerado pela rotação das curvas

x = 1 + y 2 ,     x = 0 ,     y = 1 ,     y = 2

Ao redor do eixo x .

Parece complicado?

O método das cascas cilíndricas é calculado quando a rotação é feita no eixo x pela equação

V = ∫ a b 2 π y f y d y

Veja só!

Passo 2

Esboço da região e da casca típica:

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Calculando o volume com y variando de 1 a 2

V = ∫ 1 2 2 π y 1 + y 2 d y

V = 2 π ∫ 1 2 y + y 3 d y

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 2 π 1 2 y 2 + 1 4 y 4 1 2

V = 2 π 2 + 4 - 1 2 + 1 4

V = 2 π 21 4

V = 21 π 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = 21 π 2

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica. y = x ² , y = 0 ,