Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 54
Calcule a integral definida.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida:
Tem ideia de como fazemos isso?
Quando temos uma integral definida com uma função que pode ser descontínua em algum ponto em , temos que analisar essa descontinuidade comparando com o intervalo de integração... se o intervalo de integração conter a descontinuidade da função, nem precisamos calcular a integral pois certamente ela vai divergir.
Porém se não for o caso, podemos imaginar que calcular essa integral vai ser extremamente dificil (ou impossivel) então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:
Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração é:
Nesse caso, tanto a função quando são contínuas em todo o conjunto . Então podemos pular a análise do domínio e partir para o cálculo da integral.
Show?
Passo 3
Para simplificar nossa integral, podemos chamar de .
E derivando em relação a e isolando em um lado da igualdade, temos:
Agora temos que substituir também os limites de integração:
Quando .
Quando .
Substituindo tudo isso na integral, vamos obter:
Simplificando ...
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Perceba que agora temos uma integral muito mais simples...
Pelo TFC:
Ou seja:
Aplicando os limites de integração...
Portanto, voltando para a integral do problema, concluímos que:
Bacana, não é? Responde Aí!