Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 39
a) Se , encontre e .
b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos , e .
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é calcular e . Além disso temos que esboçar os gráficos de , e e compara-los.
Parece complicado?
Perceba que a função se trata de um produto de duas outras funções de . ( e ).
Portanto, para calcular sua derivada, podemos aplicar a regra do produto.
Comparando a função da regra com a função do problema, podemos perceber que e .
Então o que vamos fazer é calcular suas derivadas e substituir em .
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando pela regra da potência
A derivada de é obtida pelo teorema fundamental do calculo.
Substituindo tudo que temos em , vamos obter
Simplificando...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora podemos derivar para obter .
Pra isso vamos usar a mesma regra, porem agora
Pela regra da potência
Substituindo na regra para , temos
Simplificando...
Bacana, não é?
Passo 4
Agora temos que esboçar os gráficos de , e .
Primeiro vamos ver o que elas tem em comum...
Em todos os casos, podemos perceber que quando tende a valores grandes negativamente, as funções tendem a e quando tende a valores grandes positivamente as funções tendem a por conta do termo que tende a e a muito rápido.
A grande diferença entre elas será quando ...
Nesse ponto temos , e .
Assim, esboçando as curvas, em vermelho temos os gráfico de ,em azul o de e em verde o de
Observe que quando a curva azul está abaixo do eixo , a curva vermelha é crescente. O mesmo ocorre quando comparamos a curva verde com a azul. Além disso, onde a curva verde se anula a azul tem tangente horizontal. Analogamente, onde a curva azul intercecta o eixo , a curva vermelha tem tange horizontal. Por fim, onde a curva verde é negativa, a curva vermelha tem concavidade para baixo. Vemos então que o comportamente gráfico das respostas encontrada é bem razoável.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!