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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 30

Sabendo que y 1 = x 2 e y 2 = x 3 formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 em ( 0 ,   ∞ ) , encontre a solução geral para:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 1 x

Passo 1

Então galera, aqui o que o enunciado faz é facilitar nossa vida, pois não precisamos calcular as raízes da equação características. Tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada e as funções y 1 e y 2 , temos que:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 1 x

y ' ' - 4 x 2 y ' + 6 x 2 y = 1 x 3

f x = 1 x 3

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x 2 x 3 2 x 3 x 2 = x 4

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x 3 1 x 3 3 x 2   = - 1

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = x 2 0 2 x 1 x 3 = 1 x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 1 x 4

u 2 ' = W 2 W = 1 x 5

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 2

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - 1 x 4 d x = 1 3 x 3

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 1 x 5 d x = - 1 4 x 4

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = 1 3 x 3 . x 2 - 1 4 x 4 . x 3 = 1 3 x - 1 4 x = 1 12 x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 + 1 12 x

E esta é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 + 1 12 x

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