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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 20

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

20. 4 y ' ' - 4 y ' + y = e x 2 1 - x 2

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

4 y ' ' - 4 y ' + y = e x 2 1 - x 2

Escrevendo-a no formato padrão:

y ' ' - y ' + 1 4 y = 1 4 e x 2 1 - x 2

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 - m + 1 4 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = 1 2

Como as raízes são reais e idênticas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

y c = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e x 2

y 2 = x e x 2

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = 1 4 e x 2 1 - x 2

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x 2 x e x 2 1 2 e x 2 e x 2 + 1 2 x e x 2 = e x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x e x 2 1 4 e x 2 1 - x 2 e x 2 + 1 2 x e x 2 = - 1 4 x e x 1 - x 2

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e x 2 0 1 2 e x 2 1 4 e x 2 1 - x 2 = 1 4 e x 1 - x 2

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 1 4 x e x 1 - x 2 e x = - 1 4 x 1 - x 2

u 2 ' = W 2 W = 1 4 e x 1 - x 2 e x = 1 4 1 - x 2

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - 1 4 x 1 - x 2 d x = 1 12 1 - x 2 3 2

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 1 4 1 - x 2 d x = x 8 1 - x 2 + 1 8 a r c   s e n   x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = 1 12 1 - x 2 3 2 . e x 2 + x 8 1 - x 2 + 1 8 a r c   s e n   x . x e x 2

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + 1 12 1 - x 2 3 2 . e x 2 + x 8 1 - x 2 + 1 8 a r c   s e n   x . x e x 2

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + 1 12 1 - x 2 3 2 . e x 2 + x 8 1 - x 2 + 1 8 a r c   s e n   x . x e x 2

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