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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 14b

(b) Use o método de Newton para aproximar a raiz correta para seis casas decimais.

14 . - 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0     [ 3 ,   4 ]

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

- 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0

E nosso objetivo é obter sua raiz no intervalo 3,4 usando o método de Newton.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para fazer o que o enunciado pede, vamos ter que usar a seguinte fórmula do método de Newton.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Mas se você reparar precisaremos de um x n inicial um x 1 no caso e como o enunciado não fornece, temos que escolher um, vamos escolher quem sabe x 1 = 3,5 e testar com ele, se a série divergir, temos que testar com outro.

Você pode estar se perguntando, quando devo parar de fazer conta? Bem quando encontrarmos dois valores consecutivos iguais até a sexta casa decimal, que é a precisão pedida no enunciado, está na hora de parar e assim o primeiro na sequência dos repetidos é a nossa raiz.

Bora lá!

Passo 2

Antes de começar a fazer conta, temos que escrever nossa equação na forma de função, então:

f x = - 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x

E agora derivar essa função para usar na fórmula mostrada em 1 .

Pela regra da potência...

f ' x = - 2 5 x 4 + 9 4 x 3 - 7 ( 3 x 2 ) - 11

f ' x = - 10 x 4 + 36 x 3 - 21 x 2 - 11

Agora partimos para fórmula.

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

x n + 1 = x n - - 2 x n 5 + 9 x n 4 - 7 x n 3 - 11 x n - 10 x n 4 + 36 x n 3 - 21 x n 2 - 11

Show?

Passo 3

Então, se usarmos x 1 = 3,5 , temos

x 2 = 3,5 - - 2 3,5 5 + 9 3,5 4 - 7 3,5 3 - 11 ( 3,5 ) - 10 3,5 4 + 36 3,5 3 - 21 3,5 2 - 11

x 2 = 3,5 - - 38,5 225,375

x 2 = 3,329173

Agora repetimos o cálculo usando x 2 para obter x 3

x 3 = 3,329173 - - 2 3,329173 5 + 9 3,329173 4 - 7 3,329173 3 - 11 ( 3,329173 ) - 10 3,329173 4 + 36 3,329173 3 - 21 3,329173 2 - 11

x 3 = 3,329173 - - 7,25811 - 143,820062

x 3 = 3,278706

E lá vamos nós mais uma vez:

x 4 = 3,278706 - - 2 3,278706 5 + 9 3,278706 4 - 7 3,278706 3 - 11 ( 3,278706 ) - 10 3,278706 4 + 36 3,278706 3 - 21 3,278706 2 - 11

x 4 = 3,278706 - - 0,519388 - 123,505519

x 4 = 3,274500

A inda não encontramos dois valores iguais...

x 5 = 3,274500 - - 2 3,274500 5 + 9 3,274500 4 - 7 3,274500 3 - 11 ( 3,274500 ) - 10 3,274500 4 + 36 3,274500 3 - 21 3,274500 2 - 11

x 5 = 3,274500 - - 0,003335 - 121,885211

x 5 = 3,274472

E mais uma vez...

x 6 = 3,274472 - - 2 3,274472 5 + 9 3,274472 4 - 7 3,274472 3 - 11 ( 3,274472 ) - 10 3,274472 4 + 36 3,274472 3 - 21 3,274472 2 - 11

x 6 = 3,274472 - 0,000077 - 121,874462

x 6 = 3,274472

Como x 5 ≈ x 6 , logo nossa raiz é x = 3,274472

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

x = 3,274472

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Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação corrija até seis casas decimais. 20 . ln ⁡ x = 1 x - 3
(a) Explique como sabemos que a equação dada deve ter uma raiz no intervalo especificado. 1 4 .- 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0 [ 3 ,4 ]
Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.A raiz positiva de sen ⁡ x = x 2
(a) Explique como sabemos que a equação dada deve ter uma raiz no intervalo especificado. 13 . 3 x 4 - 8 x 3 + 2 = 0 [ 2 ,3 ]