Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 14a
Explique como sabemos que uma dada equação deve ter uma raiz em um dado intervalo.
Passo 1
Oi, pessoal! Belezinha? 😊
Nessa questão, precisamos explicar como sabemos que a equação
tem uma raiz no intervalo
Se fizermos
então achar uma raiz para a equação do enunciado é a mesma coisa que achar um zero da função . Ou seja, achar um valor em tal que
Para acharmos um zero da função , vamos usar o Teorema do Valor Intermediário. Lembra dele? Se não, sem problemas!
Saca só: Para uma função contínua em um intervalo , dado qualquer valor entre e , existe pelo menos um entre e tal que .
Sendo assim, precisamos verificar se a função é contínua, avaliar a função em e em , e verificar se está entre e
Vamos ver se a nossa função se adequa ao teorema. Bora lá?
Passo 2
Primeiro, a função é um polinômio, logo é contínua no intervalo !
Vamos avaliar a função em :
Fazendo as contas,
Vamos avaliar a função em
Fazendo as contas,
Vamos entender o que isso quer dizer no próximo passo!
Passo 3
Como a função muda de sinal no intervalo , então em algum ponto dele ela assume o valor .
Dessa forma, como a função tem um zero em então a equação
tem uma raiz no intervalo
Resposta
Demonstração.