Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 15
Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.
A raiz positiva de
Passo 1
Oie, vamos resolver essa atividade juntos hoje.
Temos a equação:
E iremos utilizar o método de Newton para encontrar as equações dessa equação.
Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
Em que e por assim diante é a nossa raiz, o que fazemos é dada um valor para a candidata a ser a raiz, nós vamos desenvolvendo diversos até não encontrarmos mais variações significativas de valores.
Parece confuso, mas irei te ajudar a resolver.
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , como ele quer a raiz positiva, vamos usar , pronto, agora é só substituir, vamos lá então.
Mas veja, podemos utilizar nosso como qualquer valor, QUALQUER, mas é interessante analisar a função para que o nosso seja o mais próximo possível da raiz.
O que você pode fazer em muitos momentos é esboçar um gráfico das duas funções, e escolher um mais próximo de onde você notou que é o ponto de igualdade dessas funções.
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Vamos lá, uma hora acaba, agora :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
A raiz é .