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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 63

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ 0 2 x e - x   d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

De acordo com a Propriedade 8 , uma função contínua e integrável em um intervalo [ a , b ] que possui um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , tem a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m . Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Passo 2

Se chamarmos f x = x e - x , precisamos achar o valor máximo e mínimo de f para 0 ≤ x ≤ 2 .

Podemos obter essa informação pelo teste da derivada da função:

f ' x = 1 e - x - x e - x = e - x 1 - x

Para f ' x = 0 temos x = 1 ;

Para f ' x > 0 (função crescente) temos 0 ≤ x < 1 ;

Para f ' x < 0 (função decrescente) temos 1 < x ≤ 2 .

Então temos um máximo em x = 1 cujo valor máximo é M = f 1 = 1 e - 1 = e - 1

E o mínimo então só pode ser um dos extremos x = 0 ou x = 2 :

f 0 = 0 e 0 = 0

f 2 = 2 e - 2 = 2

Passo 3

Portanto, m = f 0 = 0

Logo, a aproximação é:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Como a = 0 , b = 2 ,   f x = x e - x , m = 0 e M = e - 1 :

0 ≤ ∫ 0 2 x e - x   d x   ≤ 2 e - 1

Resposta

O valor de ∫ 0 2 x e - x   d x está entre 0 e 2 e - 1 :

0 ≤ ∫ 0 2 x e - x   d x   ≤ 2 e - 1

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