Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 70
Seja e se . Mostre que não é integrável em . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Passo 1
Oi meus queridos, nessa questão nós temos uma função que é definida como:
E
Queremos mostrar que essa função não é integrável em .
E temos uma dica aqui, mostrar que o primeiro termo da soma de Riemann pode ser tornado arbitrariamente grande.
Para dizermos que é integrável em ou seja, existe , se existir o limite da soma de que é dado por:
Onde é dado por:
Sendo e os extremos do intervalo de integração.
E pode ser tomado como:
Passo 2
Temos que provar que o seguinte limite existe.
O é dado por:
E o valor de pode ser tomado como:
Logo, temos o seguinte somatório:
por se tratar de uma constante pode sair do somatório:
Como , temos que a função valerá:
Logo, temos:
Como vai para o infinito, temos uma soma de infinitos termos maiores que zero, que não converge para nenhum valor definido, ou seja, a integral não existe e por tanto, não é integrável em .
Resposta
Desenvolvimento nos Passos.