Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 65

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

Passo 1

Oi Oi, bora pra mais uma questão?

Aqui nós precisamos usar as propriedades de integrais para provar que:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

E também vamos usar o que foi feito nos exercícios 27 e 28.

Basicamente nesses exercícios nós provamos que:

∫ 1 3 x 2   d x = 26 3

(No Passo 2 eu vou trazer novamente a resolução dessa parte).

Uma propriedade das integrais nos diz que se temos duas funções, f e g , e que

f x ≥ g x

então temos que:

∫ a b f x   d x ≥ ∫ a b g x   d x

Se tomarmos x 4 + 1 como f x , e g x = x 4 = x 2 , temos:

x 4 + 1 ≥ x 4

Logo,

f x ≥ g ( x )

Passo 2

Como ∫ 1 3 x 2   d x é dada por:

∫ 1 3 x 2   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + 2 i n 2 n   =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 2 i n 2 2 n   = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + 8 i n 2 + 8 i 2 n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + ∑ i = 1 n 8 i n 2 + ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 8 i   n 2 n n + 1 2 + 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 n + 1   n + 4 2 n 2 + 3 n + 1 3 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 = 26 3

∫ 1 3 x 2   d x = 26 3

Passo 3

Dessa forma, temos que:

f x = x 4 + 1  

E que:

g x = x 2

Temos que para todo o intervalo de integração que é [ 1,3 ] a função f é maior que a função g :

f x > g x

E portanto, pela propriedade de integrais podemos dizer que:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ ∫ 1 3 x 2   d x

Então, usando o resultado do Passo 2 (e dos exercícios 27 e 28) temos que:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

A desigualdade é demonstrada.

Resposta

Desenvolvimento nos Passos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [ a ,b ] . Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2 . Se
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o
Esboce o gráfico de cada função no intervalo dado. Em seguida, use fórmulas de área simples da Geometria para encontrar a função área A ( x ) que dá a área entre o gráfico da função f especificada e o