Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 53
Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão teremos que usar as propriedades das integrais para verificar a desigualdades:
Sem calcular, de fato a integral.
Vamos ver qual a propriedade das integrais melhor se encaixa para esse casa.
Vem comigo.
Passo 2
Perceba que nossa desigualdade é dada por:
E temos
Sendo integrada em um intervalo . Ou seja, há uma simetria em retação ao eixo .
Outro fato que nos deve chamar a atenção é que temos que o valor de
pois é uma função par
Ela também possui valor máximo em , sendo:
e valor mínimo em , sendo:
Pela propriedade do livro-texto:
Se tivermos uma função contínua em um intervalo com um máximo absoluto e um mínimo absoluto , então a área do gráfico de é menor ou igual que a área do retângulo de altura e maior ou igual que o retângulo de altura .
Passo 3
Em termos matemáticos, isso quer dizer que:
Se tomarmos no caso da questão, e de modo que então:
Passo 4
Pelo o valor mínimo de é assim como o valor máximo é temos:
Lembrando que , mostramos que:
E prontinho.
Resposta
A desigualdade é verdadeira.