Calcule a integral definida.

∫ - π 2 π 2 x 2   s e n   x 1 + x 6   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

∫ - π 2 π 2 x 2   s e n   x 1 + x 6   d x

Parece complicado?

Eu sei que você deve estar pensando em procurar uma substituição que resolva o problema, mas nem tente: use sua astúcia e resolva em uma linha!!!

Note que podemos reescrever a integral como

∫ - π 2 π 2 x 2   s e n   x 1 + x 6   d x = ∫ - π 2 π 2 x 2 1 + x 6   s e n   x   d x

Veja só!

Passo 2

Note que x 2 1 + x 6 é uma função par e s e n   x é uma função ímpar.

Como o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar, a função que queremos integrar é uma função ímpar!!!

E o que sabemos de funções ímpares? A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico é nula: é exatamente essa nossa situação.

A integral vale 0 .

∫ - π 2 π 2 x 2   s e n   x 1 + x 6   d x = 0

Viu só! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

∫ - π 2 π 2 x 2   s e n   x 1 + x 6   d x = 0

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