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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 60

Calcule a integral definida.

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2 s e n x)/(1 + x^6) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2 s e n x)/(1 + x^6) d x

Parece complicado?

Eu sei que você deve estar pensando em procurar uma substituição que resolva o problema, mas nem tente: use sua astúcia e resolva em uma linha!!!

Note que podemos reescrever a integral como

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2 s e n x)/(1 + x^6) d x = int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2)/(1 + x^6) s e n x d x

Veja só!

Passo 2

Note que (x^2)/(1 + x^6) é uma função par e s e n x é uma função ímpar.

Como o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar, a função que queremos integrar é uma função ímpar!!!

E o que sabemos de funções ímpares? A integral de uma função ímpar num intervalo simétrico é nula: é exatamente essa nossa situação.

A integral vale 0 .

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2 s e n x)/(1 + x^6) d x = 0

Viu só! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (x^2 s e n x)/(1 + x^6) d x = 0

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