Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 52
Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Bom galera, nessa questão queremos provar que:
Para isso, vamos chamar de e .
E o nosso intervalo de integração está entre e .
Nesse intervalo, temos que .
(Geralmente, é maior que , mas para , o que ocorre é o contrário, é menor que !)
Logo, no intervalo de integração, podemos dizer que:
E que
E isso é válido para a raiz também, logo:
Válido para !
Portanto, podemos dizer que:
Passo 2
Por definição, se , em , então
Logo:
Assim, vemos que a desigualdade do problema é incoerente com a propriedade das integrais.
Resposta
A desigualdade é verdadeira.
Exercícios de Livros Relacionados
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 0 π 2 x sen xd x ≤ π 2 8
Demonstre a propriedade 3 das integrais.
Expresse o limite como uma integral definida.underset(n - oo)(lim) (1)/(n) sum_(i = 1)^n (1)/(1 + ((i)/(n))^2)
Expresse o limite como uma integral definida.underset(n - oo)(lim) sum_(i = 1)^n (i^4)/(n^5)
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1