Enunciado

Use a regra de l’Hôpital para determinar o limite abaixo:

lim θ → π 2 ⁡ 1 - s e n   ( θ ) 1 + cos ⁡ ( 2 θ )

Passo 1

Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital. Esse teorema diz que se exitir funções tais que f a = g a = 0 , em que f e g sejam deriváveis em um certo intervalo aberto I contendo a e que g ' x ≠ 0 nesse interevalo se x ≠ a , então :

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Para determinar

lim x → a ⁡ f x g x

pela regra de l’Hôpital você deve derivar f e g separadamente enquanto obter a forma 0/0 em x = a , ou seja, deriva o de cima e o de baixo separado (sem utulizar a forma da derivada do quociente) até não possuir mais indeterminação quando aplicar o limite.

Assim, temos que:

lim θ → π 2 ⁡ 1 - s e n (   θ ) 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) = lim θ → π 2 ⁡ - cos ⁡ ( θ ) - s e n   ( 2 θ ) × 2 = lim θ → π 2 ⁡ s e n   ( θ ) - cos ⁡ ( 2 θ ) × 2 × 2 = 1 4

Resposta

1 4

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Use Lh’ospital o limite underset(x - 1)(lim) (x^a - 1)/(x^b - 1)
Use Lh’ospital o limiteunderset(x - pi)(lim) (t g x)/(x)
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - (pi)/(2)^-)(lim) sec (7 x) cos (3 x)
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x)
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (10^x - 1)/(x)