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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 62

Use Lh’ospital o limite underset(x -> 1)(lim) (x^a - 1)/(x^b - 1)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 1)(lim) (x^a - 1)/(x^b - 1) = (underset(x -> 1)(l i m) ( x^a - 1 ))/(underset(x -> 1)(l i m) ( x^b - 1 )) = (1 - 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 1)(lim) (x^a - 1)/(x^b - 1) = (underset(x -> 1)(l i m) ( x^a - 1 ))/(underset(x -> 1)(l i m) ( x^b - 1 )) = underset(x -> 1)(lim) (a x^(a - 1))/(b x^(b - 1))

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(x -> 1)(lim) (a x^(a - 1))/(b x^(b - 1)) = (a)/(b)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (x^a - 1)/(x^b - 1) = (a)/(b)

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim t → 0 ⁡ 5 t - 3 t t
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x