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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 42

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício:

l i m x → 0 +   c o s s e c x - c o t g x + c o s x

Passo 1

Podemos reescrever o l i m x → 0 + da seguinte forma:

l i m x → 0 +   1 s e n x - c o s x s e n x + c o s x → l i m x → 0 +   1 - c o s x s e n x + c o s x

Abrindo na soma de l i m x → 0 + temos que:

l i m x → 0 + 1 - c o s x s e n x +   l i m x → 0 + c o s x

Substituindo o l i m , teremos uma indeterminação no primeiro limite do tipo 0 0 , sendo o outro definido:

1 - c o s 0 s e n 0 + c o s 0 = 0 0 + 1

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital no primeiro l i m , derivamos o termo no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m x → 0 + 1 - c o s x s e n x → l i m x → 0 + d d x 1 - c o s x d d x s e n x → l i m x → 0 + d d x 1 - d d x c o s x d d x s e n x

l i m x → 0 + 1 + s e n x c o s x

Passo 3

Substituindo o valor no limite, teremos:

l i m x → 0 + 1 + s e n x c o s x = 1 + s e n 0 c o s 0 = 1 1 = 1

Resposta

Logo, conseguimos achar depois de aplicado duas vezes a regra de L’Hopital, o valor definido do l i m da equação. O limite então possui o seguinte valor:

l i m x → 0 +   c o o s e c x - c o t g x + c o s x = 1

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