Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( e x - 1 ) ln ⁡ x

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = 0 + ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( e x - 1 ) ln ⁡ x =   lim x → 0 + ⁡ 1 ( e x - 1 ) ( e x ) 1 x =   l i m x → 0 + x e x e x - 1

Derivamos de novo...

l i m x → 0 + x e x e x - 1 =   l i m x → 0 + e x + x e x e x

Substituímos o valor agora...

l i m x → 0 + e x + x e x e x =   e 0 + 0 e 0 e 0 = 1 1 = 1

Prontinho😊

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( e x - 1 ) ln ⁡ x = 1

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