Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = ∞ ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 log 2 ⁡ x =   l i m x → ∞ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x ln ⁡ 2

l i m x → ∞ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2   l i m x → ∞   1 x + 1   1 x =   ln ⁡ 2   l i m x → ∞ x x + 1  

Resolvendo o limite agora, temos:

ln ⁡ 2   l i m x → ∞ x x + 1   =   ln ⁡ 2   1 = ln ⁡ 2

Prontinho😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x = ln ⁡ 2

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