Enunciado

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = ∞ ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 log 2 ⁡ x =   l i m x → ∞ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x ln ⁡ 2

l i m x → ∞ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2   l i m x → ∞   1 x + 1   1 x =   ln ⁡ 2   l i m x → ∞ x x + 1  

Resolvendo o limite agora, temos:

ln ⁡ 2   l i m x → ∞ x x + 1   =   ln ⁡ 2   1 = ln ⁡ 2

Prontinho😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + 1 ) log 2 ⁡ x = ln ⁡ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 4
Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → 0 ⁡ s e n5 x x
90- Função s e nx t gx Faça o gráfico de f x = s e nx t gx no intervalo - 7x7 . Como você explica as lacunas no gráfico? Qual a largura dessas lacunas?Agora faça o gráfico de f no intervalo 0 ≤ x ≤ π
(a)Prove que lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x n = 0 para todo n inteiro positivo. (b) se f x = e - 1 x 2 , use o resultado de (a) para provar que os limites de f , e todas as suas derivadas , são 0 para x tend
Determine cada um dos seguintes limitesa ) . underset(x - 0^+)(l i m) (sen x)^(csc x) b ) underset(x - + oo)(l i m) (sen ((1)/(x)))^x