Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 9
Utilize as coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
Salve, galerinha! Tudo bacana?
A questão quer o valor da integral:
Onde está delimitado pelo paraboloide
pelo cilindro
e pelo plano .
Bom, vemos que o que falta na nossa integral são os limites de integração da região . Então de acordo com a descrição da região nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas cilíndricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:
E:
Vamos lá!
Passo 2
O grande trabalho de questões deste tipo é descrever os limites de integração. Esta é uma integral tripla do tipo 1, limitada superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano .
Portanto,
Já a projeção do sólido é exatamente a projeção do cilindro
no plano . Como esta é uma região circular de raio , é mais interessante descrevê-la por coordenadas polares (e consequentemente, a integral tripla vira uma integral em coordenadas cilíndricas, o que é uma obrigação da questão). Com isto, os limites viram:
E como,
os limites em viram:
Sendo assim, temos a seguinte integral:
Passo 3
Nosso passo agora é apenas resolver a integral descrita no final do Passo 2. Com isto, temos:
Integrando ´primeiro em , que é a função de dentro, temos:
Aplicando os limites de integração:
Integrando agora em :
Depois que aplicamos os limites, ficamos com:
Agora finalmente integramos em e aplicamos seus limites de integração:
E esta é a nossa resposta!