Dizemos que uma δ : [α, β] → R^n , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se || δ' (s) = 1 , para todo s ∈ [α, β] . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s .

b) δ(s) = (R * cos(s/R), R * sin(s/R)), s ≥ 0, onde R > 0 é um real fixo

Passo 1

Podemos interpretar δ ' s como sendo:

δ ' s = δ ' 1 2 + δ ' 2 2

Então, vamos achar cada um:

δ ' 1 2 + δ ' 2 2 = R cos ⁡ s R ' 2 + R sin ⁡ s R ' 2 = R 2 × 1 R 2 sin 2 ⁡ s R + R 2 × 1 R 2 cos 2 ⁡ s R

= sin 2 ⁡ s R + cos 2 ⁡ s R

Passo 2

Podemos interpretar δ ' s como sendo:

Uma relação trigonométrica conhecida é:

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 ,     S e n d o   u = s R

Assim:

sin 2 ⁡ s R + cos 2 ⁡ s R = 1 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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