Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 6b
Dizemos que uma , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro .
Passo 1
Podemos interpretar como sendo:
Então, vamos achar cada um:
Passo 2
Podemos interpretar como sendo:
Uma relação trigonométrica conhecida é:
Assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Seja γ : I → R 2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: γ ' s = 1 para todo s ∈ I ).a) Verifique que, para todo s ∈ I ,k s = γ ' ' s , onde k s é a curvatura em γ s .b) Prove que se k s = 0 ,
Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →
Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →
Seja γ : a . b → R n , com derivada contínua, e tal que γ ' u ≠ 0 em a , b . Seja s : a , b → R dada por s t = ∫ a t γ ' u d u .a) Verifique que a função s = s t é inversível e seja t = t s sua invers
Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva γ t = R cos t , R sin t ( R0 fixo).