Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.1 - Ex. 22
Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite.
Passo 1
Faaala ae!! Belezinha???
Vamos resolver um problema de cálculo. Queremos determinar uma região cuja área seja igual ao limite dado, sem calcular o limite. O limite é o seguinte:
Beleza?? Mas lembre-se que aqui a gente não deve calcular o limite!!
Para entender o que está acontecendo aqui, precisamos lembrar que isso se parece muito com a definição de uma integral, que é o limite de uma soma de Riemann.
Para isso, devemos saber que a área de abaixo da curva de uma função pode ser dada pela seguinte forma geral:
Onde:
- é a largura de cada intervalo
- é um ponto do subintervalo.
Em que e são os limites do intervalo e é o número de subintervalos!!
Agora, como a gente percebe a cara da nossa função?
Vamos olhar mais de perto para a expressão dentro do somatório:
Essa expressão pode ser comparada com a forma geral de uma soma de Riemann:
A parte é a largura de cada subintervalo, e aqui ela é .
A parte é a função avaliada em . No nosso caso, isso é:
Então, podemos ver que a função é algo da forma .
Dessa forma:
Onde é a função avaliada nos pontos .
Agora só precisamos descobrir quem é e .
Bora lá?? 😉
Passo 2
Comparando, podemos perceber que aquele termo isolado dentro do somatório corresponde a :
Assim, podemos dizer que:
Logo, podemos dizer que esse limite pode ser interpretado como a área da região sob o gráfico de no intervalo .
Passo 3
Por fim, comparando novamente com o modelo, temos um que é dado por:
Como e
Assim, nossa expressão da área é:
Substituindo em
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
Região sob o gráfico de no intervalo