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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 11

Use (a) A regra dos Trapézios, (b)a Regra do ponto médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n. (Arredonde sua resposta para seis casas decimais). Compare seus resultados com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

∫ 0 4 x 3 sen ⁡ x d x ,             n = 8

Passo 1

Pessoal, vamos primeiro relembrar o conceito destas regras. A regra dos Trapézios é dada por:

∫ a b f x d x ≈ T n = ∆ x 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Onde:

∆ x = b - a n               e                     x i = a + i ∆ x

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (a). Vamos à integral dada:

∫ 0 4 x 3 sen ⁡ x d x ,             n = 8

Então, temos:

f x = x 3 s en ⁡ x

∆ x = 4 - 0 8 = 1 2

Logo:

x 0 = 0

x 1 = 0 + 1 2 = 1 2

x 2 = 1 2 + 1 2 = 1  

x 3 = 1 + 1 2 = 3 2

⋮

x 8 = 7 2 + 1 2 = 4

Jogando cada valor na função:

f 0 = 0 3 s en ⁡ 0 = 0

f 1 2 = 1 2 3 sen ⁡ 1 2 = 0.05992819233

f 1 = 0.8414709848

f 3 2 = 3.36654558

f 2 = 7.274379415

f 5 2 = 9.351127252

f 3 = 3.810240218

f 7 2 = - 15.03983089

f 4 = - 48.4353597

Agora podemos aplicar a regra dos Trapézios:

T 8 = 1 / 2 2 0 + 2 0.05992819233 + 2 0.8414709848 + … + 2 - 15.03983089 - 48.4353597 = - 7,291892

Passo 2

A regra do ponto médio é dada por:

∫ a b f x d x ≈ M n = ∆ x f x 1 - + f x 2 - + … + f x n -

Onde:

∆ x = b - a n               e                     x i - = 1 2 x i - 1 + x i = p o n t o   m é d i o   d e   x i - 1 , x i

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (b). Vamos à integral dada:

∫ 0 4 x 3 sen ⁡ x d x ,             n = 8

Então, temos:

f x = x 3 sen ⁡ x

∆ x = 4 - 0 8 = 1 2

Logo:

x 1 - = 1 2 x 0 + x 1 = 1 2 0 + 1 2 = 1 4

x 2 - = 1 2 x 1 + x 2 = 1 2 1 2 + 1 = 3 4  

x 3 - = 1 2 x 2 + x 3 = 1 2 1 + 3 2 = 5 4

⋮  

x 8 - = 1 2 x 7 + x 8 = 1 2 7 2 + 4 = 15 4

Jogando cada valor na função:

f 1 4 = 1 4 3 sen ⁡ 1 4 = 0.003865686863

f 3 4 = 3 4 3 sen ⁡ 3 4 = 0.2875663519

f 5 4 = 1.853485585

f 7 4 = 5.273549684

f 9 4 = 8.862740008

f 11 4 = 7.937355944

f 13 4 = - 3.714136103

f 15 4 = - 30.14092892

Agora podemos aplicar a regra do ponto médio:

M 8 = 1 2 0.003865686863 + 0.2875663519 + … - 3.714136103 - 30.14092892 = - 4.818251

Passo 3

A Regra de Simpson é dada pela seguinte fórmula:

∫ a b f x d x = S n ≈ ∆ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde:

n   é   p a r   e   ∆ x = b - a n

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (c). Vamos à integral dada:

∫ 0 4 x 3 sen ⁡ x d x ,             n = 8

f x = x 3 sen ⁡ x

∆ x = 4 - 0 8 = 1 2

Temos então que:

f 0 = 0 3 sen ⁡ 0 = 0

f 1 2 = 1 2 3 sen ⁡ 1 2 = 0.05992819233

f 1 = 0.8414709848

f 3 2 = 3.36654558

f 2 = 7.274379415

f 5 2 = 9.351127252

f 3 = 3.810240218

f 7 2 = - 15.03983089

f 4 = - 48.4353597

Agora podemos aplicar a regra de Simpson:

S 8 ≈ 1 2 3 0 + 4 0.05992819233 + 2 0.8414709848 + … + 2 3.810240218 + 4 - 15.03983089 - 48.4353597 = - 5.605350

Resposta

a )   T 8 = - 7,291892

b )   M 8 = - 4.818251  

c )   S 8 = - 5.605350

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