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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 12

Use (a) A regra dos Trapézios, (b)a Regra do ponto médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n. (Arredonde sua resposta para seis casas decimais). Compare seus resultados com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

∫ 1 3 e 1 / x d x ,             n = 8

Passo 1

Pessoal, vamos primeiro relembrar o conceito destas regras. A regra dos Trapézios é dada por:

∫ a b f x d x ≈ T n = ∆ x 2 f x 0 + 2 f x 1 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Onde:

∆ x = b - a n               e                     x i = a + i ∆ x

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (a). Vamos à integral dada:

∫ 1 3 e 1 / x d x ,             n = 8

Então, temos:

f x = e 1 / x

∆ x = 3 - 1 8 = 1 4

Logo:

x 0 = 1

x 1 = 1 + 1 4 = 5 4

x 2 = 5 4 + 1 4 = 6 4  

x 3 = 6 4 + 1 4 = 7 4

⋮

x 8 = 11 4 + 1 4 = 3

Jogando cada valor na função:

f 1 = e 1 / 1 = e

f 5 4 = e 1 5 / 4 = 2.225540928

f 6 4 = 1.947734041

f 7 4 = 1.770794952

f 2 = 1.648721271

f 9 4 = 1.559623498

f 10 4 = 1.491824698

f 11 4 = 1.43855101

f 3 = 1.395612425

Agora podemos aplicar a regra dos Trapézios:

T 8 = 1 / 4 2 e + 2 2.225540928 + 2 1.947734041 + … + 2 1.43855101 + 1.395612425 = 3.534934

Passo 2

A regra do ponto médio é dada por:

∫ a b f x d x ≈ M n = ∆ x f x 1 - + f x 2 - + … + f x n -

Onde:

∆ x = b - a n               e                     x i - = 1 2 x i - 1 + x i = p o n t o   m é d i o   d e   x i - 1 , x i

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (b). Vamos à integral dada:

∫ 1 3 e 1 / x d x ,             n = 8

Então, temos:

f x = e 1 / x

∆ x = 3 - 1 8 = 1 4

Logo:

x 1 - = 1 2 x 0 + x 1 = 1 2 1 + 5 4 = 9 8

x 2 - = 1 2 x 1 + x 2 = 1 2 5 4 + 6 4 = 11 8  

x 3 - = 1 2 x 2 + x 3 = 1 2 6 4 + 7 4 = 13 8

x 4 - = 1 2 7 4 + 8 4 = 15 8

x 5 - = 1 2 8 4 + 9 4 = 17 8  

x 6 - = 1 2 9 4 + 10 4 = 19 8

x 7 - = 1 2 10 4 + 11 4 = 21 8

x 8 - = 1 2 x 7 + x 8 = 1 2 11 4 + 3 = 23 8

Jogando cada valor na função:

f 9 8 = e 1 9 / 8 = 2.432425454

f 11 8 = e 1 11 / 8 = 2.069429007

f 13 8 = 1.850368143

f 15 8 = 1.704604865

f 17 8 = 1.600935643

f 19 8 = 1.523564464

f 21 8 = 1.463677905

f 23 8 = 1.41598597

Agora podemos aplicar a regra do ponto médio:

M 8 = 1 4 2.432425454 + 2.069429007 + … + 1.463677905 + 1.41598597 = 3.515248

Passo 3

A Regra de Simpson é dada pela seguinte fórmula:

∫ a b f x d x = S n ≈ ∆ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde:

n   é   p a r   e   ∆ x = b - a n

x 0 = a ;         x 1 = a + ∆ x ;         x 2 = x 1 + ∆ x ;   …     x n = x n - 1 + ∆ x

Podemos agora resolver a letra (c). Vamos à integral dada:

∫ 1 3 e 1 / x d x ,             n = 8

Então, temos:

f x = e 1 / x

∆ x = 3 - 1 8 = 1 4

Logo:

x 0 = 1

x 1 = 1 + 1 4 = 5 4

x 2 = 5 4 + 1 4 = 6 4  

x 3 = 6 4 + 1 4 = 7 4

⋮

x 8 = 11 4 + 1 4 = 3

Jogando cada valor na função:

f 1 = e 1 / 1 = e

f 5 4 = e 1 5 / 4 = 2.225540928

f 6 4 = 1.947734041

f 7 4 = 1.770794952

f 2 = 1.648721271

f 9 4 = 1.559623498

f 10 4 = 1.491824698

f 11 4 = 1.43855101

f 3 = 1.395612425

Agora podemos aplicar a regra de Simpson:

S 8 ≈ 1 4 3 e + 4 2.225540928 + 2 1.947734041 + … + 2 1.491824698 + 4 1.43855101 + 1.395612425 = 3.522375

Resposta

a ) T 8 = 3.534934

b )   M 8 = 3.515248  

c )   S 8 = 3.522375

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