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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 6

Use (a) a Regra do Ponto Médio e (b) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor de n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais). Compare seu resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

∫ 0 1 e - x d x , n = 6

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , e vamos usar n = 6 , com f x = e - x , temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 1 - 0 6 = 1 6

    Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 8 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    M 6 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1 12 + f 3 12 + f 5 12 + f 7 12 + f 9 12 + f 11 12 1 6 ≈ 0,525100

    Passo 2

  2. Com a Regra de Simpson temos:

S 6 = f 0 + 4 f 1 6 + 2 f 2 6 + 4 f 3 6 + 2 f 4 6 + 4 f 5 6 + f 1 ∆ x 3 = f 0 + 4 f 1 6 + 2 f 2 6 + 4 f 3 6 + 2 f 4 6 + 4 f 5 6 + f 1 1 3 . 1 6 ≈ 0,533979

Passo 2

Temos o valor real da integral:

∫ 0 1 e - x d x ≈ 0,528482

Vamos agora achar os erros de E M e E S :

E M = r e a l - M 6 = ∫ 0 1 e - x d x - M 6 ≈ 0,528482 - 0,525100 ≈ 0,003382

E S = r e a l - S 6 = ∫ 0 1 e - x d x - S 6 ≈ 0,528482 - 0,533979 ≈ - 0,005497

Resposta

  1. M 6 ≈ 0,525100
  2. S 6 ≈ 0,533979
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