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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 67

Use o resultado do Exercício 66 para mostrar que

(a) ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 d x = π a , a > 0

(b) 1 2 π σ   ∫ - ∞ + ∞ e - x 2 / 2 σ 2 d x = 1 ,   σ > 0

Passo 1

Para o item (a), começamos usando o método da substituição, em que u = a x e d u = a d x .

Como os intervalos são igual em módulo, fazemos:

∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e - a x 2 d x

Logo,

2 a ∫ 0 + ∞ e - u 2 d x = π 2

Organizando...

∫ 0 + ∞ e - a x 2 d x = π a

Passo 2

Para o item (a), começamos usando o método da substituição, em que x = 2 σ u e d x = 2 σ d u .

Como os intervalos são igual em módulo, fazemos:

  ∫ - ∞ + ∞ e - x 2 / 2 σ 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e - x 2 / 2 σ 2 d x

Logo,

2 2 π σ ∫ 0 + ∞ e - x 2 / 2 σ 2 d x = 2 π ∫ 0 + ∞ e - u 2 d u

Organizando...

∫ 0 + ∞ e - x 2 / 2 σ 2 d x = 1

Prontinho!!

Resposta

(a) π a

(b) 1

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Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes. f x = sen ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ π 2 1 + cos ⁡ x , π 2x ≤ π f x = 1 x + 1 , 0 ≤ x ≤ 2 x - 1 2 , 2x ≤ 4 f x = tg ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 4 cos ⁡ 3 x , π
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Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. Fazer o gráfico das funções dadas, verificando que os resultados encontrados são coerentes. f x = - x 2 ,
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