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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 2 ln ⁡ x ,   x > 0 ;           y 1 x = x 2 ;             y 2 x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 2 ln ⁡ x        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Se temos:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 2 ln ⁡ x

Dividindo tudo por x 2 :

y ' ' - 3 x y ' + 4 x 2 y = ln ⁡ x

Então, g x = ln ⁡ x .

Se:

y 1 x = x 2     e     y 2 x = x 2 ln ⁡ x

As derivadas serão:

y 1 ' x = 2 x

y 2 x = 2 x ln ⁡ x + x

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x 2 x 2 ln ⁡ x 2 x 2 x ln ⁡ x + x = x 3 ln ⁡ x + x - 1

Passo 3

Sabemos que:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Podemos usar as fórmulas e calcular que:

u 1 y 1 - 1 3 ln ⁡ x 3 x 2

E também:

u 2 y 2 = 1 2 ln ⁡ x 2 x 2 ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ x 3 x 2

Então:

Y x = 1 6 x 2 ln ⁡ x 3

Resposta

Y x = 1 6 x 2 ln ⁡ x 3

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