Use os resultados do Exercício 81 para mostrar que a função apresenta inversa em seu domínio. Determine uma fórmula para d(f^(-1)) / d(x) usando o Teorema 3 da Seção 3.8.

f(x) = x^(5/3)

Passo 1

O teorema 3 citado nos diz que:

“Se f tiver um intervalo I como domínio e f ' x existe e nunca é nula em I , então f - 1   é derivável em qualquer ponto de seu domínio. O valor de f - 1 no ponto b do domínio de f - 1 é a recíproca do valor de f ' no ponto a = f - 1 ( b ) :

f - 1 ' b = 1 f ' f - 1 b = 1 f ' ( a )

ou

d f - 1 d x = 1 d f d x  

E sabemos que uma função só admite inversa se ela for bijetora, ou seja for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo (cada elemento do domínio resulta em um valor diferente no contradomínio).

Como vimos no exercício 81, funções crescentes e decrescentes são injetoras, logo precisamos verificar que a função é crescente ou decrescente em seu domínio (não pode ser nula, ou seja f ' x ≠ 0 em todo o domínio).

E depois calculamos a derivada da inversa pelo teorema. Vamos lá?

Passo 2

A nossa função é:

f x = x 5 3

Derivando...

f ' x =   5 x 2 3 3

Observe que 5 x 2 3 3 > 0   para todo x ≠ 0 .   Logo, a função é crescente e possui inversa em todos os pontos com x ≠ 0 .

E a derivada da inversa é: d f - 1 d x = 1 5 x 2 3 3 = 3 5 x 2 3 → x ≠ 0 .

Resposta

d f - 1 d x = 1 5 x 2 3 3 = 3 5 x 2 3 → x ≠ 0

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