57. a) Prove que o polinômio cúbico geral:

Tem exatamente um ponto de inflexão.

b) Prove que, se o polinômio cúbico tiver três cortes com o eixo , o ponto de inflexão ocorre no valor médio dos cortes.

c) lUse o resultado de b) para encontrar o ponto de inflexão do polinômio cúbico e verifique seu resultado usando para determinar onde é côncava para cima e para baixo.

b) Então pessoal, se o polinômio cúbico tiver três cortes com o eixo podemos reescrever nossa função como:

Que é a forma fatorada da nossa função. Ademais, e são os pontos no qual a função corta o eixo . Desse formato podemos tirar que:

De acordo com a letra a) o ponto de inflexão ocorre em:

Dessa forma, teremos que:

Dividindo tudo por :

E assim provamos que, de fato, o ponto de inflexão ocorre no valor médio dos cortes.

c) Então pessoal, a função que nos foi dada é a seguinte:

Podemos reescreve-la como:

E se igualarmos a zero, teremos:

E essas são as raízes da nossa função, certo? Então bora continuar!

Agora que temos as três raízes podemos utilizar o resultado da letra b). Dessa forma, o ponto de inflexão está em:

Ok, encontramos nosso ponto de inflexão. Para provar isso o enunciado quer que utilizemos para determinar a concavidade da função que nos foi dada, então é isso que faremos! Derivando duas vezes, teremos:

Igualando a zero:

Assim como encontramos anteriormente! A função tem concavidade para cima quando:

E tem concavidade para baixo quando:

Com o resultado fica claro que, de fato, é o momento em que a função muda de concavidade!

E está aí nossa análise completa da questão, galera!