Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 18
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Antes de começarmos nossa análise, vamos usar a fatoração para simplificar a função:
Em alguns passos usaremos a forma fatorada e em outros a forma desenvolvida, conforme for mais conveniente.
Passo 3
Como não tem raízes reais, o único ponto que “dá problema” no denominador é . Assim,
Passo 4
A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem .
Passo 5
A função não é nem par, nem ímpar.
Passo 6
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , a reta (eixo ) é assíntota horizontal da função.
Provavelmente teremos uma assíntota vertical em . Vamos calcular os limites laterais para verificar isso:
Portanto, a reta é assíntota vertical do gráfico da função.
Passo 7
Derivando a função:
Usamos que .
Observe que a equação não tem raízes reais, de modo que (trata-se de uma parábola “feliz” que não corta o eixo , portanto ela é sempre positiva).
Além disso, , de modo que o único termo que vai importar para o sinal de é :
Assim, o ponto é ponto de máximo local.
Passo 8
No estudo da concavidade, precisamos de :
Assim,
Como
e ,
os únicos termos que vão importar para o sinal de são e
Assim, o sinal de será:
O ponto é ponto de inflexão.
Resposta
O esboço da curva:
