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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 44

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e^(- x) s e n x , 0 < x < (pi)/(2)

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f (0) = 0 . No eixo x a intersecção ocorre quando f (x) = 0 , ou seja, em x = 0 .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

Não há assíntotas no gráfico.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f^' (x) = e^(- x) cos x - e^(- x) s e n x = e^(- x) ( cos x - s e n x )

Quando f^' (x) = 0 , temos

c o s x = s e n x

Isso nos dá x = (pi)/(4) . Dessa forma, f ( x ) cresce em [ 0 , (pi)/(4) ] pois f^' (x) > 0 e f ( x ) decresce em [ (pi)/(4) , (pi)/(2) ] pois f^' (x) < 0 .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

O valor de máximo local ocorre quando x = (pi)/(4) e o valor de mínimo local ocorre em x = 0

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f^(' ') (x) = - 2 e^(- x) c o s x

Para f^(' ') (x) > 0 , temos

- 2 cos x > 0

Concavidade para cima quando c o s x < 0

Concavidade para baixo quando c o s x > 0 .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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