Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 27
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.
Passo 1
Oie, vamos resolver essa atividade juntos hoje.
Temos a equação:
E iremos utilizar o método de Newton para encontrar as equações dessa equação.
Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
Em que e por assim diante é a nossa raiz, o que fazemos é dado um valor para a candidata a ser a raiz, nós vamos desenvolvendo diversos até não encontrarmos mais variações significativas de valores.
Parece confuso, mas durante o desenvolvimento você irá entender melhor.
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, da função trigonométrica, da função constante, da função exponencial, do produto e do polinômio:
Vamos calcular :
Aplicando todas as regras de derivação:
Temos então a nossa derivada:
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para .
Pelo gráfico abaixo, que construímos utilizando o GeoGebra, parace ter pontos de intersecção em e , então iremos utilizar esses 2 pontos para trabalharmos, vamos lá então:
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 4
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
As raizes da equação são e .