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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 54

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

y = tan - 1 ⁡ ( x - 1 + x 2 )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

y = tg - 1 ⁡ x - 1 + x 2

Observe que nós temos duas funções compostas, tg - 1 ⁡ x - 1 + x 2 e 1 + x 2 . Isso significa que vamos precisar usar a regra da Cadeia na derivação, que é dada por:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Lembrando que a derivada da inversa da tangente ( tg - 1 ( ⁡ x ) ) é 1 x 2 + 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia na derivada da nossa função, usando o resultado da derivada da inversa da tangente, vista no passo 1 . Assim, temos:

y ' x = 1 x - 1 + x 2 2 + 1 x - 1 + x 2 '

Expandindo o termo ao quadrado:

y ' x = 1 x 2 - 2 x 1 + x 2 + 1 + x 2 + 1 x - 1 + x 2 '

Agora vamos derivar a função de dentro:

y ' x = 1 x 2 - 2 x 1 + x 2 + x 2 + 2 x - x 1 + x 2

E simplificando, temos:

y ' x = 1 + x 2 - x ( 2 x 2 - 2 x 1 + x 2 + 2 ) 1 + x 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 + x 2 - x ( 2 x 2 - 2 x 1 + x 2 + 2 ) 1 + x 2

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