Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 46
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Oi meus queridos, bora pra mais uma?
Nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Domínio
Nossa função não está definida entre , pois não está definida nesses pontos. Assim, nosso domínio é .
Intersecções com os eixos
No eixo , a intersecção ocorre em Como está fora do domínio, então a função não intercepta o eixo . Nossa função não intercepta o eixo , pois isso ocorre quando .
Como não há solução, não há interseção no eixo .
Passo 3
Simetria
Tendo
Fazendo
Como
Não há simetria no gráfico.
Passo 4
Assíntotas
O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite não existe.
Como a função só é definida para valores positivos, não existe o limite quando tende a .
E quando tende a , temos:
Como a função cresce mais rápido que a função , temos que esse limite resulta em:
E como infinito não é um valor real, não existe assíntota horizontal para a direita.
Em compensação, quando calculamos o limite
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical.
Passo 5
Intervalos de crescimento e decrescimento
Derivando a função, temos
quando
Então, está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo .
Valores de máximo e mínimo locais
A função só possui um ponto crítico, que é .
Aplicando na nossa função, temos
Como a função decrescia antes desse ponto e depois cresce, esse é um ponto de mínimo local.
Não há pontos de máximo.
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão
Tirando a segunda derivada da função, temos
é maior que em todos os pontos do domínio.
Assim, nossa função possui a concavidade para cima em todos os pontos e não possui ponto de inflexão.
Passo 7
Esboço da curva
Podemos então esboçar graficamente a curva
Resposta
