Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 32
Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiramente, veja que o domínio da função depende que e
Então, o domínio da função é:
Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:
Que desenvolvendo, chegamos em:
A derivada segunda agora:
Desenvolvendo essa coisa linda, chegamos em:
Passo 2
Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.
Bom, só o numerador pode ser zero né? Então...
Porém, veja que esse valor está fora do domínio, então, para acharmos os pontos de máximos e mínimos, vamos fazer a análise de sinais.
Passo 3
Então, a função é decrescente em todo o seu domínio.
E temos pontos de máximos locais em e de mínimo local em , que são onde cortam o eixo x.
Passo 4
Bom, veja que a derivada segunda é dada por:
Ela vai ser zero, quando isso ocorre quando e (aqui recomendo que usem um programinha para achar as raízes) que são nossos pontos de inflexão.
Então, a função tem concavidade para cima em e e tem a concavidade para baixo em e .
Passo 5
Juntando as informações, temos o gráfico:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)