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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 40

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t

O enunciado pede pra a gente usar integração por partes. Mas primeiro precisamos fazer uma mudança de variável!

Mas antes disso vamos lembrar que s e n   2 t = 2   s e n   t cos ⁡ t . Assim,

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 0 π cos ⁡ t   e cos ⁡ t   s e n   t   d t

Agora substituição, faremos x = cos ⁡ t , temos que d x = - s e n   t   d t e, além disso, para t = 0 , x = 1 e para t = π , x = - 1 . Desta forma,

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 1 - 1 x   e x   - d x

Passo 2

Agora vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Queremos resolver a integral ∫ 1 - 1 x   e x   d x . Para isso, vamos chamar de u = x e d v = e x , assim d u = d x e v = e x . Assim,

∫ 1 - 1 x   e x   d x = x   e x 1 - 1 - ∫ 1 - 1 e x   d x

= - 1 e { - 1 - e 1 - e - 1 - e 1

= - e - 1 - e - e - 1 + e

= - 2 e - 1

Multiplicando pela constante - 2   que tiramos inicialmente da integral

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = - 2   ∫ 1 - 1 x   e x   d x = - 2 ⋅ - 2 e = 4 e

Ficamos com:

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 4 e

Resposta

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 4 e

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