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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 29

Nos Exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangente inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

29. f x = x + 1 2 3 ( x - 3 ) 2

Passo 1

Vamos fazer os testes da primeira e segunda derivada, analisar os pontos, daí organizamos uma tabela. No fim, fazemos o esboço do gráfico.

Passo 2

Para determinar tudo que a questão pede, precisamos da primeira derivada da função f ( x ) :

f ' x = 2 3 x + 1 - 1 3 ( x - 3 ) 2 + x + 1 2 3 ( x - 3 )

Colocando 2 3 x + 1 - 1 3 x - 3 em evidência:

f ' x = 2 3 x + 1 - 1 3 x - 3 x - 3 + 3 x + 1 = 8 3 x + 1 - 1 3 x - 3 x

Igualando f ' ( x ) a zero:

f ' x = 0

8 3 x + 1 - 1 3 x - 3 x = 0

x = 0 ou x = 3

Vamos guardar esse resultado pra analisar

Passo 3

Também precisamos da segunda derivada:

f ' ' x = - 8 9 x + 1 - 4 3 x 2 - 3 x + 8 3 x + 1 - 1 3 ( 2 x - 3 )

Colocando 8 9 x + 1 - 4 3 em evidência:

f ' ' x = 8 9 x + 1 - 4 3 - x 2 + 3 x + 3 x + 1 2 x - 3 = 8 9 x + 1 - 4 3 ( 5 x 2 - 9 )

Igualando f ' ' ( x ) a zero:

f ' ' x = 0

8 9 x + 1 - 4 3 5 x 2 - 9 = 0

x 1 = - 3 5 5 ou x 2 = 3 5 5

Passo 4

Agora vamos avaliar o que acontece com f ( x ) , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) quando x se aproxima ou é igual aos valores que achamos...

Para x < x 1 :

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' ( x ) é negativa

f ' ' x é positiva

Nessa parte, f é decrescente e côncava pra cima.

Passo 5

Para x = x 1

f x = 9,21

f ' x = - 22,2

f ' ' x = 0

Nessa parte, f é decrescente e temos um ponto de inflexão (a concavidade vai mudar).

Passo 6

Para x 1 < x < - 1

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' x é negativa

f ' ' x é negativa

Nessa parte, f é decrescente e côncava para baixo.

Passo 7

Para x 1 = - 1

f x = 0

f ' x não existe

f ' ' x não existe

Nessa parte, f tem um mínimo relativo e uma tangente vertical.

Passo 8

Para - 1 < x < 0

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' x é positiva

f ' ' x é negativa

Nessa parte, f é crescente e côncava para baixo.

Passo 9

Para x 1 = 0

f x = 9

f ' x = 0

f ' ' x é negativa

Nessa parte, f tem um mínimo relativo e é côncava para baixo.

Passo 10

Para 0 < x <   x 2

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' x é negativa

f ' ' x é negativa

Nessa parte, f é decrescente e côncava para baixo.

Passo 11

Para x = x 2

f x = 4,85

f ' x = - 4,4

f ' ' x = 0

Nessa parte, f é decrescente e tem um ponto de inflexão.

Passo 12

Para x 2 < x <   3

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' x é negativa

f ' ' x é positiva

Nessa parte, f é decrescente e côncava para cima.

Passo 13

Para x = 3

f x = 0

f ' x = 0

f ' ' x é positiva

Nessa parte, f tem máximo relativo e é côncava para cima.

Passo 14

Para 3 < x

f ( x ) pode assumir valores, não precisamos dizer quais.

f ' x é positiva

f ' ' x é positiva

Nessa parte, f é crescente e côncava para cima.

Passo 15

O esboço fica assim:

Resposta

Esboço:

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