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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 47

Um avião voando a uma velocidade constante de 300 km/h passa sobre uma estação de radar no solo a uma altitude de 1 km e subindo em um ângulo de 30 ° . A que taxa está crescendo a distância do avião em relação à estação de radar 1 minuto mais tarde?

Passo 1

O enunciado diz que um avião voando a uma velocidade constante de 300 km/h e passa sobre uma estação de radar no solo a uma altitude de 1 km e subindo em um ângulo de 30 ° .

E pede pra a gente calcular a que taxa de crescimento da distância do avião em relação à estação de radar 1 minuto depois.

Para melhor noção do que acontece, vamos ilustrar a situação, nomeando a distância do avião ao radar de y e x a distância do avião até o ponto em que passou quando estava exatamente em cima do radar:

Temos aqui:

d x d t = 300   k m / h

E queremos: d y d t

Podemos escrever a relação entre x e y utilizando a lei dos cossenos:

y 2 = x 2 + 1 2 - 2 × 1 × x × cos ⁡ 120 °

y 2 = x 2 + x + 1

Passo 2

Derivando em função do tempo t em horas temos:

2 y d y d t = 2 x d x d t + d x d t

d y d t = d x d t ( 2 x + 1 ) 2 y

d y d t = d x d t ( 2 x + 1 ) 2 x 2 + x + 1

Após um minuto, o valor de x é:

x = 300   k m h o r a × 1 m i n u t o = 300   k m h o r a × 1 60 h o r a = 5   k m

Passo 3

Então:

d y d t = d x d t ( 2 x + 1 ) 2 y

d y d t = 300 2 5 + 1 2 5 2 + 5 + 1 = 1650 31 ≈ 296,35   k m / h

Logo, a distância do avião ao radar cresce com uma velocidade de 296,35   k m / h .

Resposta

A distância do avião ao radar cresce com uma velocidade de 296,35   k m / h .

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