Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 6

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.

As interseções com eixos, que são os valores de quando e de quando .

Limites no infinito, onde faremos:

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida. Sendo

Temos uma função polinomial. Assim, temos que:

Passo 3

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interceção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .

Assim, temos que:

Passo 4

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.

(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.

(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando :

(I)

(II)

(III)

Não possui período.

Logo como satisfaz o caso ii, é uma função ímpar.

Passo 5

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

Assíntota horizontal:

Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .

Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.

Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Temos:

E para este caso não temos nenhuma assíntota vertical, logo não há assíntotas.

Passo 6

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .

Derivando, temos:

Logo, é crescente para e e decrescente entre .

Passo 7

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que

ou . Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.

Temos que:

Analisamos agora um ponto antes e outro depois de cada um dos pontos críticos para saber o sinal em que a função assume e assim se cresce ou decresce.

Para :

Para

Logo para o ponto crítico , a função decresce antes dele e cresce depois dele.

Para :

Para

Logo para o ponto crítico , a função cresce antes dele e decresce depois dele .

Passo 8

Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

Então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos , visto que resulta em valores negativos para e vale lembrar que é uma função ímpar, logo possui simetria na origem.