Seja f x = 0 se x for um número racional qualquer e f x = 1 se x for um número irracional qualquer. Mostre que f não é integrável em 0,1 .

Passo 1

Para que f fosse integrável em 0,1 o limite do somatório que gera a integral deveria existir. Em outras palavras, deveria existir

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Se o nosso n é o número de subintervalos dentro de 0,1 de modo que se escolhermos um x i no i-ésimo subintervalo onde temos um número irracional temos o limite a soma de Riemann:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i 1 n = 0

Mas, em contrapartida, se o número for irracional, o valor do limite é:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ( 1 ) 1 n = n n = 1

Se o valor dessa integral depende dos pontos da amostra e no intervalo dado temos descontinuidade, a função f não é integrável em 0,1 .

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